Hajo Seng: Struktur
Primzahlen Einführung Primzahlpaare (1) Primzahlpaare (2) Lücken und Paare Primzahlfolgen Beispiele (Folgen)
Bereits in der Antike waren Primzahlen Gegenstand mathematischer Betrachtungen; in Euklids Elementen aus dem zweiten vorchristlichen Jahrhundert wurden im Kontext der pythagoräischen Arithmetik mehrere Eigenschaften von Primzahlen bewiesen. Insbesondere auch, dass es unendlich viele davon gibt. Dieser Beweis beruht auf elementaren Teilbarkeitsüberlegungen. Wie häufig Primzahlen auftreten, war allerdings in der Antike nicht bekannt. Diese Frage konnte erst in der Neuzeit - mit Mitteln der Analysis und Algebra - mathematisch bearbeitet werden. Leonhard Euler zeigte, dass ∑1/ns = ∏(1-1/ps)-1 für s > 1 gilt, das Eulersche Produkt, und dass die Reihe der inversen Primzahlen divergiert (1737). Er führte die φ-Funktion ein, die jeder ganzen Zahl die Anzahl teilerfremder Zahlen zuordnet. Edmund Landau zeigte 1909, dass im Durchschnitt φ(n) = 3n/π2 (zu beachten ist, dass hier π(n) (Funktion) und π (Zahl) zwei verschiedene Dinge bedeuten). Das bedeutet, dass zwei zufällig gewählte Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit von 6/π2 teilerfremd sind. 1798 und 1808 arbeitete Adrien-Marie Legendre die Vermutung aus, dass die Häufigkeit π(n) von Primzahlen gegen n/(logn-A(n)) mit A(n) = 1,08366... konvergiert. Carl Friedrich Gauß präzisierte diese Vermutung 1792 (als Fünfzehnjäriger) zu π(n) ~ Li(n) = ∫dt/logt, woraus π(n) ~ n/logn folgt. Diese Vermutung konnte 1850 Pafnuti Tschebyscheff eingegrenzen, was einen wichtigen Schritt zu deren Beweis darstellte. Bernhard Riemann führte 1859 die ζ-Funktion als grundlegende zahlentheoretische Funktion und guter Abschätzung von π(n) ein. Bewiesen wurde die Vermutung über die Häufigkeit von Primzahlen schließlich unabhängig voneinander von Charles-Jean de la Vallée Poussin und Jacques Salomon Hadamard 1896. Wem immer die analytische Zahlentheorie im Mathematikstudium begegnet, wird sich mit dessen Beweis ausführlich beschäftigen. Paul Erdös und Atle Selberg bewiesen den Primzahlsatz 1949 nur mit elementaren arithmetischen Abschätzungen. Während für n ≥ 11 immer n/logn ≤ π(n) gilt, konnte John E. Littlewood 1914 zeigen, dass Li(n) - π(n) unendlich oft das Vorzeichen wechselt.
In der modernen Primzahlforschung tritt etwas auf, was nicht nur auf den ersten Blick mathematisch heikel erscheint: Heuristische Betrachtungen und auf statistischen Überlegungen beruhenden Vermutungen. Tatsächlich gibt es keine geschlossen berechenbare Funktion, die als Bildmenge die Primzahlen liefert, und es gibt keinen Beweis, der darlegt, dass die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen stastistisch verteilt sind. Aber genau das setzen solche auf stastistischen Überlegungen beruhenden Vermutungen. Es gibt inzwischen eine Fülle von solchen Vermutungen über Primzahlen, die häufig auch voneinander anbhängen. Eine gute Annäherung an diese Thematik bietet das Buch "Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde" von Paulo Ribenboim (Springer, Heidelberg, 2006, 2. Aufl. 2011). Es ist insgesamt ein gutes Einführungsbuch in die Thematik mit vielen interessanten Beispielen und weiterführenden Literaturverweisen.