Hajo Seng: Struktur
Primzahlen Einführung Primzahlpaare (1) Primzahlpaare (2) Lücken und Paare Primzahlfolgen Beispiele (Folgen)
Bis heute konnte nicht bewiesen werden, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, obwohl dies offensichtlich der Fall zu sein scheint. Eine der wenigen grundlegenden Sätze zu diesem Thema konnte 1919 von .. Bruns bewiesen werden, nämlich, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillingen konvergiert (gegen 1,9...). Hardy und Littlewood veröffentlichten 1923 die Vermutung, dass die Häufigkeit der Primzahlzwillinge π2(n) gegen 2*C2 * n/(logn)2 konvergiert. Dabei ist C2 = ∏(1-1/(p-1)2) die Zwillingskonstante und beträgt etwa 0,66016. Dabei setzen sie die statistische Verteilung der Primzahlen voraus, wobei natürlich für die zweite Primzahl eines Zwillings Abhängigkeiten zu berücksichtigen sind: Dass sie immer auch gerade ist (vorausgesetzt, die erste Primzahl ist nicht 2) und dass zu einer beliebigen ungeraden Primzahl p', die beiden Zwillinge zu jeweils anderen Restklassen modulo p' gehören. Hardy und Littlewood haben ihre Vermutung in "Partitio Numerorum III: On the expression of a number as a sum of primes" aufgezeigt.
In diesem Buch befindet sich auch ihre Vermutung zur Häufigkeit von Zerlegungen einer geraden Zahl in zwei Primzahlen. Sie stellt eine Verallgemeinerung der sogenannten Goldbach-Vermutung, die 1742 Christian Goldbach in einem Brief an Leonhard Euler geäußert hatte: Jede ganze Zahl ist die Summe dreier Primzahlen. Euler merkte an, dass diese Vermutung äquivalent ist zur Vermutung, dass jede gerade Zahl außer 2 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann. Zu den wenigen bedeutenden Ergebnissen zur (bis heute unbewiesenen) Goldbach-Vermutung gehört das von Jingrun Chen, das er in der Zeit zwischen 1966 und 1978 in mehreren Schritten dargelegt und bewiesen hatte, dass es für jede gerade Zahl n (außer 2) zumindest die Darstellung n = p + q*r mit primen p,q und r gibt. Chen konnte in dieser Zeit auch zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen p mit p+2 = q*r (p, q und ,r prim) gibt. Eine Zahl, die ein Produkt zweier Primzahlen ist, wird auch Fast-Primzahl genannt. Damit hat Chen zwei sehr bedeutende Vermutungen der Zahlentheorie "fast" bewiesen.
Eine weitere Vermutung von Hardy und Littlewood besagt, dass es für jede gerade Zahl d unendlich viele Primzahlen mit diesem Abstand d gibt. Die geben auch eine Abschätzung für deren Häufigkeit: πd ~ π2 * ∏[p>2|d](1 + 1/(p-2)). In den Häufigkeiten spiegeln sich in den Abständen von Primzahlpaaren die enthaltenen Primfaktoren wieder; sie bilden eine Art Spektrum der Teilbarkeit von Zahlen. Dabei kommt den Primfakultäten #p die Rolle als Hauptbanden der Spektren zu: H = {2, 6, 30, 210, 2310, ...}. Die Folgen {k * h, h∈H} stellen dabei die jeweiligen Nebenbanden dar, die sich jeweils zwischen h und dem Nachfolger von h befinden.